Zilele acestea am primit o problemă 3D interesantă, pe care o propun spre ,,dezbatere”: Să se determine cele patru sfere identice „înscrise” într-o semisferă dată (deci sfere care sunt tangente la semisferă, la planul „ecuatorial”, şi tangente între ele câte două). Apoi, aceeaşi problemă pentru trei sfere înscrise.
Problema 3D
Dacă aveţi un software MCAD capabil să construiască suprafeţe/solide pe bază de constrângeri 3D, atunci problema se rezolvă simplu (dar vă rog să transmiteţi totuşi câteva mici detalii privind abordarea, pe adresa redacţiei, sau chiar o prezentare publicabilă a rezolvării). Altfel, dacă dispunem de un software CAD – gen AutoCAD, MicroStation sau IntelliCAD – problema trebuie abordată un pic mai laborios, şi respectiv cu construcţii 3D auxiliare...
După ce m-am scărpinat cu mouse-ul în barbă (virtual, ce credeaţi?!), şi pentru că nu mi se ivea soluţia CAD, mi-am zis să schimb problema, să o inversez: având cele patru (sau trei) sfere mici, să determin poziţia şi raza semisferei „circumscrise”. Sau raportul razelor sferelor. Mai mult, – pentru a găsi facil centrul semisferei – am completat simetric problema: adică nu patru, ci opt (respectiv nu trei, ci şase) sfere mici înscrise într-o sferă mare, completă.
Privind figura 1, devine clar că centrul sferei mari se află în chiar mijlocul diagonalei mari a cubului în ale cărui vârfuri îşi au originea cele opt sfere mici. Şi că raza sferei mari este egală cu jumătatea acestei diagonale plus o rază de sferă mică. Deci, analitic calculabil.
Figura 1. Opt sfere înscrise tangent într-o sferă mare
Pentru construirea modelului CAD parcurgem fazele:
- construim un cub având latura egală cu dublul razei sferelor mici (L = 2*r);
- construim (în alt strat/layer) cele patru/opt sfere, agăţându-ne (Osnap) de vârfurile cubului pentru a stabili originile sferelor, şi respectiv de mijloacele laturilor cubului pentru a stabili razele;
- construim o diagonală mare a cubului;
- construim o semi-diagonală mare: o linie de la un colţ al cubului până la mijlocul diagonalei mari desenate anterior;
- mutăm sistemul de coordonate utilizator în planul semi-diagonalei cubului (roto-translaţie UCS);
- extindem această semi-diagonală în exterior cu o lungime egală cu raza sferelor mici (eventual desenăm un arc de cerc cu originea în extrema semi-diagonalei şi cu raza r, după care folosim comanda Extend pentru a prelungi semi-diagonala până la intersectarea acestui arc auxiliar);
- construim sfera mare cu originea în capătul central al semi-diagonalei şi cu raza până în capătul extins al acestei (foste) semi-diagonale. (Deci raportul razelor este 1+ radical din 3/4 ).
Sfera cu şase copii
Datorită simetriei mai puţin evidente din cazul problemei cu trei sfere mici înscrise în semisfera mare, aici am avut un mic recul. Însă, operând o răsucire cu 180 de grade a grupului de sfere mici din emisfera „australă”, am ajuns să înţeleg că pot recurge la aceeaşi abordare: originea sferei mari se află la mijlocul înălţimii ce trece prin centrele de greutate ale triunghiurilor echilaterale în colţurile cărora se află originile sferelor mici.
Figura 2. Rezolvarea CAD a problemei pentru şase sfere înscrise tangent într-o sferă mare
Din figura 2 se observă că sfera mare se poate determina atât analitic (două aplicări ale teoremei Pitagora în triunghiurile formate în planul „bazei” şi respectiv în planul „diagonal”, care conduc la un raport al razelor de 1+radical din 7/3), cât şi constructiv (cu extinderea „semi-diagonalei” în planul UCS, ca mai sus).
Mircea Băduţ este inginer, consultant CAD/IT
